Question

15．△ABC₁和△ABC₂是兩個腰長均為1的等腰直角三角形，當二面角C₁-AB-C₂為60°時，點C₁和C₂之間的距離等于$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（請寫出所有可能的值）

Answer 1

分析 ①若AB是斜邊，則根據(jù)題中二面角的大小，首先要作出此二面角的平面角，可以取AB中點M，連接MC₁、MC₂，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構成的二面角的平面角，進而可以求得答案；
②若AB是直角邊，則∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構成的二面角的平面角，進一步可得答案；
③如圖3所示：AB為公共直角邊時，C₁在靠近A的這側，但是C₂在靠近B的那側．

解答 解：①如圖1所示：當AB為斜邊時，取AB中點M，連接MC₁、MC₂，
∵△ABC₁和△ABC₂均為等腰直角三角形，
∴MC₁⊥AB，MC₂⊥AB，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構成的二面角的平面角，
∴∠C₁MC₂=60°，
又∵MC₁=MC₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C₁C₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②如圖2所示：當AB為直角邊時，
∵BA⊥AC₁，BA⊥AC₂，
∴∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構成的二面角的平面角，
∴∠C₁AC₂=60°，
又∵C₁A=C₂A=1，
∴C₁C₂=1；
③如圖3所示：AB為公共直角邊時，C₁在靠近A的這側，但是C₂在靠近B的那側，
此時C₁C₂=$\sqrt{2}$，
綜上所述：點C₁和C₂之間的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1或$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查點、線、面之間的距離計算，二面角及其度量等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力，是中檔題．