Question

【題目】定義函數(shù)，(0，)為型函數(shù)，共中．

（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；

（2）若是型函數(shù)，求函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）若是型函數(shù)，在上有三點(diǎn)A、B、C橫坐標(biāo)分別為、、，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1個(gè)；（3）見解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出其單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值求出值域；（2）先求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，求極值點(diǎn)個(gè)數(shù)只需判斷導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)整理后得，將導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用圖像觀察求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）先求導(dǎo)再進(jìn)行二階求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與范圍，再得出原函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)槎�階導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)是三凸的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像很容易得出兩直線斜率的關(guān)系.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

又因?yàn)?/span>，，

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

當(dāng)時(shí)，

結(jié)合函數(shù)圖像易知與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，，

且當(dāng)時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減

所以函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)

（3）因?yàn)?/span>，

所以

所以

所以在上單調(diào)遞減，且，所以

構(gòu)造函數(shù),

則

記,

則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

又因?yàn)?/span>，所以，所以

所以在和上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>＜＜

所以

所以

所以直線AB的斜率大于直線BC的斜率