Question

【題目】設(shè)函數(shù) 的極值點．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2的切線平行于3x﹣4y+4=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）=0恰有兩解，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得

∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點，函數(shù)f（x）在x=2的切線平行于3x﹣4y+4=0，

∴f′（1）=0，f′（2）=

∴

∴b=﹣ ，c=

∴函數(shù)f（x）的解析式為 ；

（2）解： （x＞0）

①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0，即

∴

②若0＜c＜1，則f極大（x）=f（c）=clnc+ ，f極小（x）=f（1）=

∵b=﹣1﹣c，∴f極大（x）=clnc ，f極小（x）=

∴f（x）=0不可能有兩解

③若c≥1，則f極小（x）=clnc ，f極大（x）= ，∴f（x）=0只有一解

綜上可知，實數(shù)c的取值范圍為 ．

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是函數(shù)f（x）的極值點，函數(shù)f（x）在x=2的切線平行于3x﹣4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）= ，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；（2） （x＞0），分類討論：①若c＜0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0；②若0＜c＜1，則f極大（x）=clnc ，f極小（x）= ；③若c≥1，則f極小（x）=clnc ，f極大（x）= ，由此可確定實數(shù)c的取值范圍．