Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=3a_n-2（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列首項(xiàng)，進(jìn)一步可得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3a_n-1-2，與原遞推式聯(lián)立可得數(shù)列{a_n}為公比是$\frac{2}{3}$等比數(shù)列，并求得通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求得的數(shù)列通項(xiàng)公式代入b_n=（n+1）•a_n，利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （1）證明：由S_n=3a_n-2，①
得a₁=3a₁-2，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3a_n-1-2，②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1，即2a_n=3a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}為公比是$\frac{2}{3}$等比數(shù)列．
則${a}_{n}=1×（\frac{2}{3}）^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$；
（2）解：b_n=（n+1）•a_n=（n+1）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴${T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{0}+3×（\frac{2}{3}）^{1}+4×（\frac{2}{3}）^{2}+…+$$n（\frac{2}{3}）^{n-2}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n-1}$，③
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{1}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n（\frac{2}{3}）^{n-1}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$，④
③-④得：$\frac{1}{3}{T}_{n}=2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$=$2+\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$
=$2+2[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴${T}_{n}=12-（n+8）•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．