【題目】求具有如下性質(zhì)的質(zhì)數(shù)的最大值：存在1,2，，的兩個(gè)排列（可以相同）與，使被除所得的余數(shù)互不相同.

【答案】2

【解析】

先證明引理.

引理（威爾遜定理）對(duì)任何質(zhì)數(shù)，有， ①

引理的證明：當(dāng)時(shí)，式①顯然成立.

當(dāng)時(shí)，我們證明：對(duì)任何，必存在，使.

實(shí)際上，對(duì)，有.

從而，構(gòu)成模的完系.

于是，必存在，使，

顯然，否則，矛盾

此外，如，則由，得，與矛盾.

如果，則由，得，與矛盾.

如果，由，得，

所以，，但矛盾.

因此，，且.

由此可知，乘積的各個(gè)因數(shù)可以配成對(duì)，每對(duì)中兩個(gè)數(shù)的積模的余數(shù)為1.

從而，.

所以，.

現(xiàn)在解決原題.

不妨設(shè)，并設(shè).

若，此時(shí)，.

又被除的余數(shù)互不相同.

所以， 被除的余數(shù)分別為.

則.

但另一方面，與是的兩個(gè)排列，

所以

，

于是，. ②

若，則與式②矛盾，所以，，

又當(dāng)時(shí)，令

此時(shí)，，.

所以，條件，故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我市為改善空氣環(huán)境質(zhì)量，控制大氣污染，政府相應(yīng)出臺(tái)了多項(xiàng)改善環(huán)境的措施.其中一項(xiàng)是為了減少燃油汽車對(duì)大氣環(huán)境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車，鼓勵(lì)市民如果需要購(gòu)車，可優(yōu)先考慮選用新能源汽車.政府對(duì)購(gòu)買使用新能源汽車進(jìn)行購(gòu)物補(bǔ)貼，同時(shí)為了地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展，對(duì)購(gòu)買本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車比購(gòu)買外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車補(bǔ)貼高.所以市民對(duì)購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的滿意度也相應(yīng)有所提高.有關(guān)部門隨機(jī)抽取本市本年度內(nèi)購(gòu)買新能源汽車的戶，其中有戶購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車，對(duì)購(gòu)買使用新能源汽車的滿意度進(jìn)行調(diào)研，滿意度以打分的形式進(jìn)行.滿分分，將分?jǐn)?shù)按照分成5組，得如下頻率分布直方圖.

（1）若本次隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)中購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的用戶中有戶滿意度得分不少于分，把得分不少于分為滿意.根據(jù)提供的條件數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表.

滿意

不滿意

總計(jì)

購(gòu)本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

購(gòu)?fù)獾仄髽I(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

總計(jì)

并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買使用新能源汽車的滿意度與產(chǎn)地有關(guān)？

（2）把滿意度得分少于分的用戶很不滿意用戶，在很不滿意的用戶中有戶購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車，其他是購(gòu)買外地產(chǎn)的.現(xiàn)在從樣本中很不滿意的用戶中隨機(jī)抽取戶進(jìn)行了解很不滿意的具體原因，求這戶恰好是一戶購(gòu)買本市企業(yè)產(chǎn)的，另一戶是購(gòu)買外地企業(yè)產(chǎn)的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：若，不等式成立.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于鈍角的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，其中，若，則的最大值為____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)，為常數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ） 過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方體的個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)側(cè)面（底面）的中心及體的中心共個(gè)點(diǎn)中，若由兩兩不同的且不共線的個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面與由另外個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成的直線垂直，則稱這個(gè)點(diǎn)為“正交點(diǎn)組”，那么，由這個(gè)點(diǎn)形成的正交點(diǎn)組的總個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象大致是（ ）

A. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/8f50d3dfba9b485fac00e42a95909498.png] B. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/74ae44978a70424c961e850ed79072da.png]

C. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/2f113f7ec5294ba0bbd1f66b13f3e152.png] D. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/dbaa9025ccdb497380b769e5396c4c19.png]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以為概率的事件是(　　)

A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品

C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案