【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4,最小值為1.
(1)求實(shí)數(shù)、的值;
(2)記,若在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù),用,1,2,,,將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間,若存在常數(shù),使得和式對(duì)任意的劃分恒成立,則稱(chēng)函數(shù)為上的有界變差函數(shù).記,試判斷函數(shù)是否為在上的有界變差函數(shù)?若是,求的最小值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(參考公式:
【答案】(1),;(2)或;(3)是,6.
【解析】
(1)由已知中在區(qū)間的最大值為4,最小值為1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值,構(gòu)造出關(guān)于,的方程組,解得,的值;
(2)由的解析式可得的解析式,討論的符號(hào)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和單調(diào)性可得的范圍;
(3)根據(jù)有界變差函數(shù)的定義,我們先將區(qū)間進(jìn)行劃分,進(jìn)而判斷是否恒成立,進(jìn)而得到結(jié)論.
(1)函數(shù),因?yàn)?/span>,
所以在區(qū)間上是增函數(shù),
又函數(shù)故在區(qū)間,上的最大值為4,最小值為1,
,即,
解得,;
(2)由已知可得,
,
若在上是單調(diào)函數(shù),
若,即,由兩個(gè)增函數(shù)的和還是增函數(shù),易得函數(shù)在遞增;
若,函數(shù)為對(duì)勾函數(shù),結(jié)合圖象可知:在遞增;
或,解得:或.
綜上所述:或.
(3)函數(shù)為上的有界變差函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)為遞增,遞減,上的單調(diào)遞增函數(shù),
且對(duì)任意劃分,
有
恒成立,①
且對(duì)任意劃分,
有,
恒成立,②
且對(duì)任意劃分,
有,
恒成立,③
由①②③可得,
存在常數(shù),使得恒成立,的最小值為6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購(gòu)買(mǎi),“×”表示未購(gòu)買(mǎi).
(I)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙和丙的概率;
(II)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買(mǎi)3中商品的概率;
(III)如果顧客購(gòu)買(mǎi)了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)乙、丙、丁中那種商品的可能性最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,c的極坐標(biāo)方程為=2sin.
(1)寫(xiě)出c的直角坐標(biāo)方程;
(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,則評(píng)議后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為( )
A.x= – (k∈Z)
B.x= + (k∈Z)
C.x= – (k∈Z)
D.x= + (k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(選修4﹣1:幾何證明選講)
如圖,直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC= ,延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已成橢圓 的左右頂點(diǎn)分別為 ,上下頂點(diǎn)分別為 ,左右焦點(diǎn)分別為 ,其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,且圓 為菱形 的內(nèi)切圓.
(1)求橢圓 的方程;
(2)點(diǎn) 為 軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) 作橢圓 的切線 ,記右焦點(diǎn) 在 上的射影為 ,若 的面積不小于 ,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)在其圖像上存在不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐標(biāo)滿足條件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值為0,則稱(chēng)f(x)為“柯西函數(shù)”, 則下列函數(shù):
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E為棱PB的中點(diǎn) (Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直線PC與平面PAD所成角為45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)f(x)有最大值M,則M的取值范圍是( )
A.( ,0)
B.(0, ]
C.(0, ]
D.( , ]
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