Question

17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，G、H分別為BP、BE、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面ADPE；
（2）M是線段PC上一點(diǎn)，且PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，證明：PB⊥平面EFM．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)FG、FH，推導(dǎo)出FG∥PE，F(xiàn)H∥BC，從而BC∥AD，進(jìn)而FH∥AD，平面FGH∥平面ADPE，由此能證明GH∥平面ADPE．
（2）推導(dǎo)出PB⊥EF，PD⊥CB，CB⊥CD，從而CB⊥平面PCD，進(jìn)而CB⊥PC，推導(dǎo)出PB⊥FM，由此能證明PB⊥平面EFM．

解答 證明：（1）連結(jié)FG、FH，
∵F、G、H分別為BP、BE、PC的中點(diǎn)，
∴FG∥PE，F(xiàn)H∥BC，
又ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴FH∥AD，
又由已知得AD與PE相交，∴平面FGH∥平面ADPE，
∴GH∥平面ADPE．
（2）在Rt△AEB中，∵AE=1，AB=2，∴BE=$\sqrt{5}$，
在直角梯形EADP中，∵AE=1，AD=PD=2，∴PE=$\sqrt{5}$，∴PE=BE，
又F為PB的中點(diǎn)，∴PB⊥EF，
由已知得PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CB，又CB⊥CD，PD∩CD=D，
∴CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，∴CB⊥PC，
由已知得PB=2$\sqrt{3}$，PF=$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$，PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{PM}{PF}=\frac{PB}{PC}$，∴△PFM∽△PCB，∴PB⊥FM，
∴PB⊥平面EFM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．