【題目】已知是一個(gè)長(zhǎng)方體，從點(diǎn)到直線、、的垂線分別交直線、、于點(diǎn)、、，垂足分別為、、．求證：

（1）、、三點(diǎn)共線；

（2）、、三條直線交于一點(diǎn)．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，則長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、、，、、、．

（1）依題意，設(shè)，則，．

因?yàn)?/span>，則，．故．

設(shè)，則，，，．

由

故．

設(shè)，則，．

因?yàn)?/span>，則，．故．

所以，．這表明、、三點(diǎn)共線．

（2）設(shè)．

由、、三點(diǎn)共線，得．

又、、三點(diǎn)共線，得．

故

．

所以，．又與有相同的起點(diǎn)，因此，、、共線，即．這表明，、、三線交于一點(diǎn)．

解法2：如圖，設(shè)，，．

（1）由射影定理有，．由割線定理有，．

故，．同理，，．

在中，由余弦定理，有

．．

從而，．

同理，在中，有．

故，

．

另一方面，在中，由勾股定理，有．

所以，，、、三點(diǎn)共線．

（2）由射影定理，有，．

又由（1）有．故．

由塞瓦定理，、、三線共點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四個(gè)函數(shù)，其中，的圖像如圖所示.

（1）請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出，的圖像，并根據(jù)這四個(gè)函數(shù)的圖像總結(jié)出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？

（2）舉出在實(shí)際情境中能夠抽象出指數(shù)函數(shù)的一個(gè)例子并說明理由.

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（Ⅰ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說明理由；

（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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【題目】如圖，設(shè)，分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，，其中正確的命題為（ ）

A.三棱錐的體積為定值

B.異面直線與所成的角為

C.平面

D.直線與平面所成的角為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且，數(shù)列的前項(xiàng)為，滿足

（Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)的極小值為，當(dāng)時(shí)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí),若不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓的方程為，直線l的方程為，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.

（1）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：經(jīng)過A，P，三點(diǎn)的圓必經(jīng)過異于的某個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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