Question

5．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAC
（Ⅱ）PD的中點(diǎn)為G，求證：CG∥平面PAF
（Ⅲ）求三棱錐A-CDG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠ACB=∠DAC=90°，PA⊥DA，AC⊥DA，由此能證明DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）PD的中點(diǎn)為G，在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H，連接FH，則四邊形FCGH為平行四邊形，由此能證明CG∥平面PAF．
（Ⅲ）由V_A-CDG=V_G-ACD，能求出三棱錐A-CDG的體積．

解答 證明：（Ⅰ）四邊形是平行四邊形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，
∴DA⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）PD的中點(diǎn)為G，在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H，
則GH平行且等于$\frac{1}{2}$AD，連接FH，則四邊形FCGH為平行四邊形，…（6分）
∴GC∥FH，
∵FH?平面PAE，CG?平面PAE，
∴CG∥平面PAF．  …（8分）
解：（Ⅲ）設(shè)S為AD的中點(diǎn)，連結(jié)GS，則GS平行且等于$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，
∵PA⊥平面ABCD，∴GS⊥平面ABCD，
∴三棱錐A-CDG的體積V_A-CDG=V_G-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•GS$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC×AD×GS$=$\frac{1}{12}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．