解:(1)令t=2x,得f (x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/138603.png)
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∵f (x)是奇函數(shù),∴f(0)=0,解之可得a=1
∴函數(shù)的解析式為f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34220.png)
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∵由y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34220.png)
解出2
x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/40228.png)
>0,解之得-1<y<1
∴值域為 (-1,1)-------------------------------------------------
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23346.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/452945.png)
對x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立
即:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23346.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/452946.png)
,
不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23346.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/452947.png)
對x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立------
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/452948.png)
----①,對于x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立
由①,得k
2≤1-x
2對于x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立---------------------------
∴k
2≤1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2766.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4442.png)
,解之得0<k≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2569.png)
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分析:(1)由奇函數(shù)的特性f(0)=0,解出a=1可得f(x)的解析式為f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/34220.png)
.再由指數(shù)函數(shù)的值域,解關于y的不等式即可求出f(x)的值域;
(2)將原不等式化簡,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23346.png)
≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/452947.png)
對x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立,由此結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域,化簡得到k
2≤1-x
2對于x∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64340.png)
恒成立,可得實數(shù)k的取值范圍.
點評:本題給出含有指數(shù)式的分式型函數(shù),求函數(shù)的奇偶性和值域,并依此討論不等式恒成立時實數(shù)k的范圍.著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)恒成立問題等知識,屬于中檔題.