Question

16．已知：在三棱錐P-ABQ 中，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH，則多面體ADGE-BCHF的體積與三棱錐P-ABQ體積之比是$\frac{11}{18}$．

Answer 1

分析 由題意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，設(shè)出三棱錐P-ABQ體積為V，可得V_P-DCQ=$\frac{1}{4}V$，${V}_{P-QEF}=\frac{1}{4}V$，${V}_{P-EGHF}=\frac{5}{9}{V}_{P-EFQ}$=$\frac{5}{36}V$，作差求出多面體ADGE-BCHF的體積，則答案可求．

解答 解：∵D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，
∴EF∥AB，DC∥AB，則EF∥DC，
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，∴EF∥平面PCD，
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，
設(shè)三棱錐P-ABQ體積為V，則V_P-DCQ=$\frac{1}{4}V$，${V}_{P-QEF}=\frac{1}{4}V$，
${V}_{P-EGHF}=\frac{5}{9}{V}_{P-EFQ}$=$\frac{5}{36}V$．
∴${V}_{ADGE-BCHF}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V$=$\frac{11}{18}V$．
∴多面體ADGE-BCHF的體積與三棱錐P-ABQ體積之比是$\frac{11}{18}$．
故答案為：$\frac{11}{18}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．