Question

8．設常數a≠0，函數$f（x）=lg\frac{x+1-2a}{x+1+3a}$．
（1）當a=1時，判斷并證明函數y=f（x）在（1，+∞）上的單調性．
（2）是否存在實數a，使函數y=f（x）為奇函數或偶函數？若存在，求出a的值，并判斷相應的y=f（x）的奇偶性；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，利用導數法即可得出結論；
（2）假設存在，利用奇函數的定義，即可得出結論．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，
令y=$\frac{x-1}{x+4}$，則y′=$\frac{5}{（x+4）^{2}}$＞0，即函數y=$\frac{x-1}{x+4}$，在（1，+∞）上單調遞增，
∴函數y=f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
（2）f（-x）=lg$\frac{-x+1-2a}{-x+1+3a}$，f（-x）+f（x）=0，
可得（x-1+2a）（x+1-2a）=（x-1-3a）（x+1+3a），
∴a=-2，函數是奇函數．

點評 本題考查函數的奇偶性，考查增函數的判斷，考查導數法，屬于中檔題．