Question

15．函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）求函數y=f（x）解析式；
（2）求x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數y=f（x）的值域；
（3）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數y=f（x）的值域．
（3）利用正弦函數的單調性，求得函數y=g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答 解：（1）根據函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分圖象，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可得A=4-2=2，B=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根據五點法作圖，可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴y=f（x）∈[1，4]．
（3）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2的圖象，
對于函數y=g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
故函數g（x）的單調增區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了正弦函數的定義域和值域，正弦函數的單調性，屬于中檔題．