【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,離心率為,,分別是橢圓的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與的斜率之積為,直線分別交橢圓于兩點(diǎn),記,的面積分別為,.
①若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,求直線的斜率;
②證明:.
【答案】(1);(2)①;②詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)得,再根據(jù)離心率以及的關(guān)系式可解得,從而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)①設(shè)出的斜率,寫出的方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標(biāo),再根據(jù)的斜率關(guān)系得的斜率和方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標(biāo),根據(jù),關(guān)于軸對(duì)稱,列式可求得;
②用的方程聯(lián)立解得的坐標(biāo),通過兩點(diǎn)間的距離算得,只要證明,就可證明.
(1)橢圓的短軸長(zhǎng)為,離心率為,
所以,,
解得.
所以橢圓方程為.
(2)
①設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,
聯(lián)立,消去并化簡(jiǎn)得,
解得,所以.
因?yàn)橹本的斜率乘積為,所以直線的方程為,
聯(lián)立,消去并化簡(jiǎn)得,
解得,所以.
因?yàn)?/span>關(guān)于軸對(duì)稱,所以,
即,解得.
當(dāng)時(shí),由,解得,在橢圓外,不滿足題意.
所以直線的斜率為.
②由①得,,,
由,解得.
即.
所以,
,
.
同理利用兩點(diǎn)間的距離公式求得,
,
所以.
所以,
因?yàn)?/span>,所以
.
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知①,②,③,④在如右圖所示的程序框圖中,如果輸入,而輸出,則在空白處可填入( )
A.①②③ B.②③ C.③④ D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計(jì)分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)
(2)若該校高二年級(jí)共有2000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布,其中,為樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:
(i)估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));
(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線是由兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)的距離之積等于的所有點(diǎn)組成的,對(duì)于曲線,有下列四個(gè)結(jié)論:①曲線是軸對(duì)稱圖形;②曲線上所有的點(diǎn)都在單位圓內(nèi);③曲線是中心對(duì)稱圖形;④曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓交于M點(diǎn),且滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是 ( )
A. B. -1 C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若對(duì)任意,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若存在,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)任意,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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