Question

17．設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的左、右焦點．
（1）若橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求橢圓的方程，并寫出m的取值范圍；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓E上一點，且在第一象限內(nèi)，直線F₂P與y軸相交于點Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F₁，證明：點P在直線x+y-2=0上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，m＞4-m，4-m＞0，即可求得m的取值范圍，求得a=m，c²=2m-4，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，即可求得m的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），分別求得直線F₁P的斜率及直線F₁Q的斜率${k}_{{F}_{1}P}$和${k}_{{F}_{1}Q}$，由${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=-1，代入求得$\frac{{x}_{0}^{2}}{m}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4-m}=1$，x₀＞0，y₀＞0，即可求得x₀+y₀=2，點P在直線x+y-2=0上．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1焦點在x軸上，
∴m＞4-m，解得：m＞2，
4-m＞0，m＜4，
∴m的取值范圍（2，4）
c²=m-（4-m）=2m-4，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2m-4}{m}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得：m=3，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由題意可知：c²=m-（4-m）=2m-4，
設(shè)P（x₀，y₀），由題意可知：x₀≠0，
則直線F₁P的斜率${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{c+x}_{0}}$，直線F₂P的斜率${k}_{{F}_{2}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，
∴直線F₂P的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$（x-c），
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c，即點Q（0，-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c），
∴直線F₁Q的斜率${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$，
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F₁，
∴${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{c+x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
化簡得：${y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-（2m²-4），
∵P為橢圓E上的一點，且在第一象限內(nèi)，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{m}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4-m}=1$，x₀＞0，y₀＞0，
解得：x₀=$\frac{{a}^{2}}{2}$，y₀=2-$\frac{1}{2}$a²，
∴x₀+y₀=2，
∴即點P直線x+y-2=0上．

點評 本題考查橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，斜率等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．