Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一個(gè)零點(diǎn)x=3．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+mlnx在區(qū)間[0，2]上有極值點(diǎn)，求m取值范圍
（III）是否存在兩個(gè)不等正數(shù)s，t（s＜t），當(dāng)x∈[s，t]時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數(shù)s，t，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）若函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一個(gè)零點(diǎn)x=3．則方程x²+ax+b=0有兩個(gè)相等的根3，進(jìn)而可得a，b值；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+mlnx在區(qū)間[0，2]上有極值點(diǎn)，則g′（x）=3x²-12x+9+$\frac{m}{x}$在區(qū)間[0，2]上有變號零點(diǎn)，即h（x）=3x³-12x²+9x+m在區(qū)間[0，2]上有變號零點(diǎn)，進(jìn)而可得m取值范圍
（III）若存在兩個(gè)不等正數(shù)s，t（s＜t），當(dāng)x∈[s，t]時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，則s，t是x³-6x²+9x=x的兩個(gè)大于3的根，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一個(gè)零點(diǎn)x=3．
∴方程x²+ax+b=0有兩個(gè)相等的根3，
即3+3=-a，3×3=b，
解得：a=-6．b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x（x≠0）；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+mlnx=x³-6x²+9x+mlnx在區(qū)間[0，2]上有極值點(diǎn)，
則g′（x）=3x²-12x+9+$\frac{m}{x}$在區(qū)間[0，2]上有變號零點(diǎn)，
即h（x）=3x³-12x²+9x+m在區(qū)間[0，2]上有變號零點(diǎn)，
∵h(yuǎn)′（x）=9x²-24x+9=3（3x+1）（x-3）＜0在區(qū)間[0，2]上恒成立，
故h（x）在區(qū)間[0，2]上為減函數(shù)，
故h（0）h（2）=m（m-6）＜0，
解得：m∈（0，6）；
（III）∵函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x，
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）＜0，則x∈（1，3），
令f′（x）＞0，則x∈（-∞，1），或x∈（3，+∞），
故函數(shù)f（x）在（-∞，1），（3，+∞）遞增，在（1，3）上遞減，
又∵當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值為0，
若存在兩個(gè)不等正數(shù)s，t（s＜t），當(dāng)x∈[s，t]時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，
則s，t是x³-6x²+9x=x的兩個(gè)大于3的根，
解x³-6x²+9x=x得：x=0，x=2，x=4，
故不存在正數(shù)s，t滿足條件．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的定義域和值域，難度中檔．