Question

19．若${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，則x²+y²的取值范圍是[1，$\frac{28}{3}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，可設(shè)x=cosθ-2，y=2sinθ，那么x²+y²=（cosθ-2）²+4sin²θ，利用三角函數(shù)的有界限求解即可．

解答 解：由題意：，${（x+2）^2}+\frac{y^2}{4}=1$，
設(shè)x=cosθ-2，y=2sinθ，
那么：x²+y²=（cosθ-2）²+4sin²θ=cos²θ-4cosθ+4+4sin²θ=cos²θ-4cosθ+8-4cos²θ=$-3（cosθ+\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}+8$，
當$cosθ=-\frac{2}{3}$時，x²+y²取值最大值為$\frac{28}{3}$．
當cosθ=1時，x²+y²取值最小值為1．
則x²+y²的取值范圍是[1，$\frac{28}{3}$]
故答案為：[1，$\frac{28}{3}$]

點評 本題主要考查了最值的求法，利用了三角函數(shù)的有界限的性質(zhì)，換元的思想，屬于中檔題．