Question

函數(shù)y=f（x）定義域為（

1

2

，+∞），f（1）=f（3）=1，f（x）的導(dǎo)數(shù)．f′（x）=a（

2

x

+2x-5），其中a為常數(shù)且a＞0，則不等式組

-2≤x-2y≤ 1 2 f(2x+y)≤1

所表示的平面區(qū)域的面積等于（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  3

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式組即可，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求出區(qū)域面積．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的定義域為（

1

2

，+∞），a＞0
由f′（x）=a（

2

x

+2x-5）＞0，即2x²-5x+2＞0，解得x＞2，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f′（x）=a（

2

x

+2x-5）＜0，即2x²-5x+2＜0，解得

1

2

＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
即函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，
∵f（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
結(jié)合-2≤x-2y≤

1

2

②畫出滿足條件①②的可行域如圖：為矩形ABCD，
則A（0，1），
則AB等于點（0，1）到直線2x+y=3的距離：d=

|1-3|

1+4

=

2

5

，
另一條邊等于AD=

|-2- 1 2 |

1+4

=

5 2

5

=

5

2

，
∴面積S=

2

5

×

5

2

=1，
故選D；

點評：本題主要考查線性規(guī)劃問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找出可行域，是解決此題的關(guān)鍵，綜合性較強．