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18.如圖所示多面體中,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°
(Ⅰ)作出題中多面體的三視圖,并標(biāo)出相應(yīng)長度
(Ⅱ)求證:AC⊥平面BDE
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

分析 (I)根據(jù)∠DBE=60°計(jì)算DE,再作出三視圖即可;
(II)由DE⊥平面ABCD得出DE⊥AC,結(jié)合BD⊥AC得出AC⊥平面BDE;
(III)利用平行線等分線段成比例定理即可得出M為BD的三等分點(diǎn),再給出證明即可.

解答 解:(Ⅰ)作出三視圖如圖所示:


(Ⅱ)證明:因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以DE⊥AC.
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,
所以AC⊥BD,又BD∩DE=D,BD,DE?平面BDE,
∴AC⊥平面BDE.
(Ⅲ)解:在BE上取得N,在BD上取點(diǎn)M,使得BMBD=BNBE=13,
連結(jié)MN,F(xiàn)N,AM,
則MN∥DE,MNDE=13,又AF∥DE,AF=13DE,
∴AF=MN,
∴四邊形AMNF是平行四邊形,
∴AM∥FN,又FN?平面BEF,AM?平面BEF,
∴AM∥平面BEF.
∴當(dāng)M為BD靠近B的三點(diǎn)分點(diǎn)時(shí),AM∥平面BEF.

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和三視圖,線面垂直、平行的判定,屬于中檔題.

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