Question

已知函數(shù).
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；
（III）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I） （II） （III）

試題分析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.
（Ⅰ）函數(shù),
當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.       3分
（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．
所以當(dāng)時(shí)，．
又，
故當(dāng)，即時(shí)，，所以，故
所以的最小值為.
（Ⅲ）“若，使成立”等價(jià)于
“當(dāng)時(shí)，有”，
有（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，有，，
問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ），在上為減函數(shù).
則，故.
當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，
故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011600132690.png" style="vertical-align:middle;" />，即．
由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿(mǎn)足：
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．
綜上，.
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．