Question

17．過(guò)圓O外一點(diǎn)M（a，b）向圓O：x²+y²=r²引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓的切線(xiàn)分別為x₁x+y₁y=r²、x₂x+y₂y=r²．而點(diǎn)P是這兩條直線(xiàn)的公共點(diǎn)，代入直線(xiàn)方程并利用比較系數(shù)法，可得所求直線(xiàn)AB的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則設(shè)P（x，y）為過(guò)A的切線(xiàn)上一點(diǎn)，可得$\overrightarrow{AP}$=（x-x₁，y-y₁），
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OA}$=0，得x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化簡(jiǎn)得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²，
∵點(diǎn)A在圓x²+y²=r²上，可得x₁²+y₁²=r²，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線(xiàn)為x₁x+y₁y=r²，
同理可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的圓的切線(xiàn)為x₂x+y₂y=r²．
又∵點(diǎn)P（a，b）是兩切線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴可得ax₁+by₁=r²，說(shuō)明點(diǎn)A（x₁，y₁）在直線(xiàn)ax+by=r²上；
同理ax₂+by₂=r²，說(shuō)明點(diǎn)B（x₂，y₂）在直線(xiàn)ax+by=r²上
因此可得直線(xiàn)AB方程為：ax+by=r²．

點(diǎn)評(píng) 本題求圓的切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程，解題量請(qǐng)注意與所學(xué)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)的聯(lián)系，體現(xiàn)由不熟悉向熟悉的轉(zhuǎn)化，并注意直線(xiàn)方程形的特點(diǎn)，屬于中檔題．