Question

1．設二次函數(shù)f（x）=Ax²+Bx+c，給定m、n（m＜n），且滿足A²[（m+n）²+m²n²]+2A[B（m+n）-Cmn]+B²+C²=0
①解不等式f（x）＞0；
②是否存在一個實數(shù)t，使當t∈（m+t，n-t）時，f（x）＜0？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍．

Answer 1

分析 ②原題意中的等式化為[A（m+n）+B]²+（Amn-C）²=0，得到m+n=-$\frac{B}{A}$，mn=$\frac{C}{A}$，即m n為f（x）=0的兩根，根據(jù)方程與一元二次不等式的關系即可求出f（x）＞0的解集，
②根據(jù)A分類討論，根據(jù)不等式的解集情況，得到t的取值范圍．

解答 解：①∵A²[（m+n）²+m²n²]+2A[B（m+n）-Cmn]+B²+C²=0
∴[A（m+n）+B]²+（Amn-C）²=0，
∴A（m+n）+B=0，Amn-C=0，
∴m+n=-$\frac{B}{A}$，mn=$\frac{C}{A}$，
∴m n為f（x）=0的兩根，
若A＞0，則f（x）＞0的解為x＞n或x＜m，故解集為（-∞，m）∪（n，+∞）
若A＜0，則f（x）＞0的解為m＜x＜n，故解集為（m，n），
②由①可得f（x）=A（x-m）（x-n）；
當A＞0，f（x）＜0的解為m＜x＜n；
由m+t≥m和n-t≤n得t≥0；
當A＜0時，$\frac{1}{2}$[（m+t）+（n-t）]=$\frac{1}{2}$（m+n）∈（m+t，n-t），
而f（$\frac{1}{2}$（m+n））＞0，故不存在t．
綜上所述，t的取值范圍為[0，+∞）

點評 本題考查了不等式和方程的關系以及，分類討論和轉化思想，求出m n為f（x）=0的兩根是關鍵，屬于中檔題．