Question

5．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足x＞0時(shí)，f（x）=x-$\sqrt{x}$+1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)分析有f（0）=0；再令x＜0，則有-x＞0，分析可得f（x）=-f（-x）=-[（-x）-$\sqrt{-x}$+1]=x+$\sqrt{-x}$+1，綜合可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，由（1）的解析式分三種情況討論：當(dāng)x＞0時(shí)，令t=$\sqrt{x}$＞0，則有f（x）=x-$\sqrt{x}$+1=t²-t+1，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得此時(shí)值域，當(dāng)x=0時(shí)，有f（0）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得此時(shí)函數(shù)的值域，綜合三種情況可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）-$\sqrt{-x}$+1]=x+$\sqrt{-x}$-1，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x+\sqrt{-x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，令t=$\sqrt{x}$＞0，
則有f（x）=x-$\sqrt{x}$+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
又由t＞0，則有f（x）≥$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x=0時(shí)，有f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（x）=-f（-x），
而f（-x）≥$\frac{3}{4}$，則f（x）≤-$\frac{3}{4}$；
綜合可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧y|y≥$\frac{3}{4}$或y≤-$\frac{3}{4}$或y=0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，注意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求出解析式，不能忽略f（0）=0．