Question

15．已知數列f（x₁），f（x₂），…f（x_n），…是公差為2的等差數列，且x₁=a²其中函數f（x）=log_ax（a為常數且a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_n=log_ax_n，求證$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得f（x₁）=$lo{g}_{a}{a}^{2}$=2，利用等差數列的通項公式與對數的運算性質即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：a_n=2n，可得$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．再利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可證明．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x₁）=$lo{g}_{a}{a}^{2}$=2，公差d=2．
∴f（x_n）=2+2（n-1）=2n，
∴l(xiāng)og_ax_n=2n，解得x_n=a²ⁿ．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得：a_n=log_ax_n=2n，
∴$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、對數的運算性質、“裂項求和”方法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．