Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{2}$ax²-ln（x+1），其中a∈R．（提示：ln（x+1）′=$\frac{1}{x+1}$）
（1）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f'（2）=0，解得a，再驗(yàn)證是否符合函數(shù)取得極值的充分條件即可；
（2）對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題意求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x（1-a-ax）}{x+1}$，x∈（-1，+∞）
依題意，令f'（2）=0，解得a=$\frac{1}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，x=2是f（x）的極值點(diǎn)．
∴a=$\frac{1}{3}$；
（2）①當(dāng)a=0時，f′（x）=$\frac{x}{x+1}$，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
②當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=$\frac{1}{a}$-1，
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$-1）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）．
當(dāng)a=1時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）
當(dāng)a＞1時，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，0）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
③當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-1，0）；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$-1），減區(qū)間是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
當(dāng)a=1時，f（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a＞1時，f（x）的增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，0）；減區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
（3）由（2）知a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（0）=0，知不合題意．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），
由f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，知不合題意，
當(dāng)a≥1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意，
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時，a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．