Question

5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則z=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$大值為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 畫出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，利用目標(biāo)函數(shù)求解最大值即可．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+2y-5≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$的可行域如圖：
，$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，令$t=\frac{y}{x}$，作出可行域知$t=\frac{y}{x}$的取值范圍[k_OB，k_OA]，易知：A（1，2），B（3，1）
可得$t∈[\frac{1}{3}，2]$，于是$z=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}=t+\frac{1}{t}$，
t∈（1，2]，函數(shù)是增函數(shù)，t∈（$\frac{1}{3}，1$）函數(shù)是減函數(shù)，t=$\frac{1}{3}$時(shí)，z取得最大值為$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，判斷目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．