【題目】如圖,在直三棱柱中,,, ,為線段的中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)),為線段上一動(dòng)點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面即證
(Ⅱ)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,代入公式可得結(jié)果.
(I)證明:因?yàn)?/span>,為線段的中點(diǎn),
所以,
在直三棱柱中,易知平面,
,而;
平面,;
又因?yàn)?/span>,;
所以平面,
又平面;所以平面平面;
(II)由(I)可建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>所以,
則,
,
設(shè),
所以,
因?yàn)?/span>,,
所以,
,
解得:(異于點(diǎn)) ,
設(shè)平面 的法向量為 ,則
即 ,可取 ,
設(shè)直線與平面所成角為 ,
則 ,
直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
討論的單調(diào)性;
若是的極值點(diǎn),且曲線在兩點(diǎn) 處的切線相互平行,這兩條切線在軸上的截距分別為,求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列、滿足 (N*),則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.
(1)若為常數(shù)列,且為的“偏差數(shù)列”,試判斷是否一定為等差數(shù)列,并說明理由;
(2)若無窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且,為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,求的值;
(3)設(shè),為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,,且,若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)M的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地因受天氣,春季禁漁等因素影響,政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),如下表所示:
捕魚量(單位:噸) | |||||
頻數(shù) | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表(捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚,非晴好天氣不捕魚):
晴好天氣(單位:天) | |||||
頻數(shù) | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表)
(Ⅰ)估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數(shù);
(Ⅱ)若以(Ⅰ)中確定的平均數(shù)作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量.
①估計(jì)一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內(nèi)的捕魚總量;
②已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬元/噸,此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí),每天成本為10萬元/艘;若不捕魚,每天成本為2萬元/艘,請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤(rùn)不少于1600萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意的,恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,為橢圓的左、右焦點(diǎn),過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn),且在軸上的正投影為右焦點(diǎn),過點(diǎn)作直線分別交橢圓于兩點(diǎn),當(dāng)直線的傾斜角互補(bǔ)時(shí),試問:直線的斜率是否為定值;若是,請(qǐng)求出其定值;否則,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,點(diǎn),,,對(duì)角線,交于點(diǎn)P.
(1)求直線的方程;
(2)若點(diǎn)E,F分別在平行四邊形的邊和上運(yùn)動(dòng),且,求的取值范圍;
(3)試寫出三角形區(qū)域(包括邊界)所滿足的線性約束條件,若在該區(qū)域上任取一點(diǎn)M,使,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出現(xiàn)故 障時(shí)間x(年) | 0<x≤1 | 1<x≤2 | x>2 | 0<x≤2 | x>2 |
轎車數(shù)量(輛) | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每輛利潤(rùn) (萬元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
將頻率視為概率,解答下列問題:
(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.
(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2,分別求X1,X2的分布列.
(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車.若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車?說明理由.
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