Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求q的值，并求a₃，a₅的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a _n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，可得a₃=q，a₄=3q，a₅=q²，由于a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，可得a₂+a₃+a₄+a₅=2（a₃+a₄），代入解得q即可得出．
（II）由（I）可得：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為3．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（III）由（II）可得：b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（I）∵a _n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，
∴a₃=q，a₄=3q，a₅=q²，
∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差數(shù)列，∴a₂+a₃+a₄+a₅=2（a₃+a₄），
∴3+q+3q+q²=2（q+3q），化為：a²-4q+3=0，q≠1，解得q=3．
∴a₃=3，a₅=9．
（II）由（I）可得：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為3．
∴a_2k-1=3^k-1，a_2k=3×3^k-1=3^k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{k-1}，n=2k-1}\\{{3}^{k}，n=2k}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．
（III）由（II）可得：b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
相減可得：$\frac{2}{3}$S_n=1+$\frac{1}{3}$$+（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．