Question

8．設函數f（x）=4lnx+ax²+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的導函數，且1和4分別是f（x）的兩個極值點．
（Ⅰ）求f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅱ）若對于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，得到關于a，b的方程，解出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數的遞減區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據函數的單調性問題轉化為“?x₂∈[1，e]，使λ（x+$\frac{4}{x}$）＜$\frac{9}{2}$”，即“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，求出λ的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{4}{x}$+2ax+b=$\frac{2{ax}^{2}+bx+4}{x}$（x＞0），
∵1和4別是f（x）的兩個極值點，
∴1和4別是f′（x）=0的兩根，
∴1+4=-$\frac{2a}$，1×4=$\frac{4}{2a}$，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-5，
∴f（x）=4lnx+$\frac{1}{2}$x²-5x．  …（3分）
由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0））
由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，4）…（4分）
（Ⅱ）對于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，
?等價于“?x₂∈[1，e]，使得λ[f′（x₂）+5]＜[-f（x₁）]_min，x₁∈[1，e]．
由上可得：x₁∈[1，e]，f（x₁）單調遞減，故-f（x₁）單調遞增，
∴[-f（x₁）]_min=-f（1）=$\frac{9}{2}$； …（6分）
又x₂∈[1，e]，時，f′（x₂）+5=$\frac{4}{{x}^{2}}$+x₂＞0且在[1，2]上遞減，在[2，e]遞增，
∴[f′（x₂）]_min=f′（2）=4，…（8分）
從而問題轉化為“?x₂∈[1，e]，使λ（x+$\frac{4}{x}$）＜$\frac{9}{2}$”，
即“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，
故λ＜${[\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}]}_{max}$=$\frac{9}{2×4}$=$\frac{9}{8}$，
∴λ∈（-∞，$\frac{9}{8}$）．  …（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道綜合題．