Question

19．在平面直角坐標系xoy中，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線y=x被橢圓C截得的弦長為$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓$\frac{π}{2}$的頂點）．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率可得a，b的關系，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合直線y=x被橢圓C截得的弦長為$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），可得${k_{AD}}=-\frac{x_1}{y_1}$，設直線AD的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．求出BD所在直線的斜率，得到BD的方程，分別求出M，N的坐標，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得a²=4b²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}={a^2}\\ y=x\end{array}\right.$，得$x=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}a$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1}\frac{{2\sqrt{5}a}}{5}=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$，解得a=2．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∴${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，且AB⊥AD，則${k_{AD}}=-\frac{x_1}{y_1}$，
設直線AD的方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+4{k^2}}}$，
∴${k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4k}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}$，
∴直線BD的方程為$y+{y_1}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}（x+{x_1}）$，
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
令x=0，得$y=-\frac{3}{4}{y_1}$，即M（3x₁，0）．
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×3|{x_1}|×\frac{3}{4}|{y_1}|=\frac{9}{8}|{x_1}||{y_1}|$．
又∵$|{x_1}||{y_1}|≤\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1$，當且僅當$\frac{{|{x_1}|}}{2}=|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，等號成立．
∴△OMN面積的最大值為$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．