Question

14．已知橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓與橢圓Q有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，0），求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知c=b=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x+1），（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)方程、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出|AB|的最小值．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）∵橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，
以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓與橢圓Q有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴由題意可知c=b=1，
∴a=$\sqrt{2}$，故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x+1），（k≠0），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}+1）=\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-y₀=-$\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，
令y=0，得${x}_{P}={x}_{0}+k{y}_{0}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，
∵${x}_{P}∈[-\frac{1}{4}，0）$，∴-$\frac{1}{4}≤-\frac{1}{2}+\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，∴0＜k²$≤\frac{1}{2}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{4}-4（2{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}}{2{k}^{2}+1}$
=2$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}$]$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
|AB|的最小值|AB|_min=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)方程、弦長(zhǎng)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．