Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，∠ADC=120°，底面ABCD為菱形，G為PC中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PB上一點(diǎn)，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF．
（1）求證：AC⊥DF；
（2）求證：EF∥平面BDG；
（3）求三棱錐B-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)H，以D為原點(diǎn)，DH為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥DF．
（2）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，由已知條件推導(dǎo)出EF∥OG，由此能證明EF∥平面BDG．
（3）利用向量法求出F到平面BEC的距離d=3t=3，三棱錐B-CEF的體積V_B-CEF=V_F-BEC．，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取AB中點(diǎn)H，以D為原點(diǎn)，DH為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（0，0，4t），t＞0，
由已知得A（2$\sqrt{6}$，-2$\sqrt{2}$，0），C（0，4$\sqrt{2}$，0），D（0，0，0），
B（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3t），
$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{6}$，6$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3t），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DF}$=-6+6+0=0，
∴AC⊥DF．
（2）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，
∵底面ABCD為菱形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵G是PC中點(diǎn)，∴OG∥AP，
∵E，F(xiàn)分別為AB，PB上一點(diǎn)，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，PB=4PF，
∴EF∥AP，∴EF∥OG，
∵EF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴EF∥平面BDG．
解：（3）$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-4t），$\overrightarrow{PC}$=（0，4$\sqrt{2}$，-4t），
∵PA⊥PC，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=0+16-16t²=0，解得t=1，
∴F到平面BEC的距離d=3t=3，
∵∠ADC=120°，底面ABCD為菱形，AB=4AE=4$\sqrt{2}$，
∴BE=3$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×4\sqrt{2}×sin120°$=6$\sqrt{3}$，
∴三棱錐B-CEF的體積V_B-CEF=V_F-BEC=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEC}×d$=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的證明，考查二面角的平面角及求法，建立空間坐標(biāo)系，將空間夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．