Question

3．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ
（1）若l的參數(shù)方程中的t=$\sqrt{2}$時，得到M點，求M的極坐標和曲線C的直角坐標方程；
（2）若點P（1，1），l和曲線C交于A，B兩點，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$．

Answer 1

分析 （1）t=$\sqrt{2}$代入直線l的參數(shù)方程求出M（0，2），從而求出點M的極坐標，由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程得${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，由此利用韋達定理能求出$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
l的參數(shù)方程中的t=$\sqrt{2}$時，得到M點，
∴點M的直角坐標為M（0，2），
∴$ρ=\sqrt{0+4}=2$，$θ=\frac{π}{2}$，∴點M的極坐標為M（2，$\frac{π}{2}$），
∵曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²-6x+y²=0．
（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程得：
${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-4＜0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{34}}{4}$．

點評 本題考查點的極坐標和曲線的極坐標方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的合理運用．