Question

8．將圓x²+y²=1上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，得曲線C．
（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：3x+y+1=0與C的交點為P₁、P₂，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P₁P₂的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由坐標(biāo)變換公式得x=3x′，y=y′，代入x²+y²=1中，得9x^'2+y^'2=1，由此能求出曲線C的參數(shù)方程．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{9{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{3x+y=1}\end{array}\right.$，得P₁（-$\frac{1}{3}$，0），P₂（0，-1），由此能求出過線段P₁P₂的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（Ⅰ）∵將圓x²+y²=1上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，得曲線C．
∴由坐標(biāo)變換公式$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，得x=3x′，y=y′，
代入x²+y²=1中，得9x^'2+y^'2=1，
故曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（ θ為參數(shù)）．（5分）
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{9{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{3x+y=-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
由題知，P₁（-$\frac{1}{3}$，0），P₂（0，-1），P₁ P₂線段中點M（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{2}$），
${k}_{{P}_{1}{P}_{2}}$=$\frac{-1-0}{0+\frac{1}{3}}$=-3，故P₁ P₂線段中垂線的方程為y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x+$\frac{1}{6}$），（8分）
即3x-9y-4=0，即極坐標(biāo)方程為3ρcosθ-9ρsinθ-4=0．（10分）

點評 本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，考查過線段的中點且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運用．