分析 (Ⅰ)按照x與1進(jìn)行討論,分離常數(shù)得a≤$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$,令φ(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$,去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)解析式,由一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出φ(x)的范圍,由恒成立問(wèn)題求出a的范圍,最后取并集;
(Ⅱ)由題意求出h(x),求出對(duì)稱軸,由區(qū)間和對(duì)稱軸對(duì)a進(jìn)行分類討論,分別由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出h(x)在區(qū)間上的單調(diào)性,并求出對(duì)應(yīng)的最大值.
解答 (本題滿分為15分)
解:(Ⅰ)不等式f(x)≥g(x)對(duì)x∈R恒成立,即(x2-1)≥a|x-1|(*)對(duì)x∈R恒成立,
①當(dāng)x=1時(shí),(*)顯然成立,此時(shí)a∈R; …(2分)
②當(dāng)x≠1時(shí),(*)可變形為a≤$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$,令φ(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x>1}\\{-(x+1)}&{x<1}\end{array}\right.$,
因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),φ(x)>2,當(dāng)x<1時(shí),φ(x)>-2,…(4分)
所以φ(x)>-2,故此時(shí)a≤-2.
綜合①②,得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2.…(6分)
(Ⅱ)$h(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-ax+a+1,0≤x<1\\ 0,{\;}^{\;}{\;}^{\;}{\;}^{\;}{\;}^{\;}{\;}^{\;}x=1\\{x^2}+ax-a-1,1<x≤2\end{array}\right.$,…(7分)
∵a≤0,
∴$對(duì)稱軸x=-\frac{a}{2}≥0$,
①當(dāng)$0≤-\frac{a}{2}≤1$時(shí),即-2≤a≤0,${(-{x^2}-ax+a+1)_{max}}=h(-\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}+a+1$(x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3,
∵$\frac{a^2}{4}+a+1-(a+3)=\frac{{{a^2}-8}}{4}<0$,
∴h(x)max=a+3,…(9分)
②當(dāng)$1<-\frac{a}{2}≤2$時(shí),即-4≤a<-2,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0,${({x^2}+ax-a-1)_{max}}=max\{h(1),h(2)\}=max\{0,3+a\}=\left\{\begin{array}{l}0,-4≤a<-3\\ 3+a,-3≤a<-2\end{array}\right.$,
此時(shí)$h{(x)_{max}}=\left\{\begin{array}{l}0,-4≤a<-3\\ 3+a,-3≤a<-2\end{array}\right.$,…(11分)
③當(dāng)$-\frac{a}{2}>2$時(shí),即a<-4,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0(x2+ax-a-1)max=h(1)=0,
此時(shí)h(x)max=0,…(13分)
綜上:h(x)max=t(a)=$\left\{\begin{array}{l}3+a,-3≤a≤0\\ 0,a<-3\end{array}\right.$,
∴t(a)min=0.…(15分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件及相關(guān)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化,本題比較抽象,對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化尤其顯得重要,本題在求解問(wèn)題時(shí)用到了分類討論的思想,轉(zhuǎn)化化歸的思想,數(shù)學(xué)綜合題的求解過(guò)程中,常用到這兩個(gè)思想,繁雜的分類使得該題難度較大.
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A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$ | B. | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}a$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$ |
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A. | $\frac{a}$<$\frac{b+m}{a+m}$ | B. | $\frac{a}$>$\frac{b+m}{a+m}$ | C. | $\frac{a}$=$\frac{b+m}{a+m}$ | D. | 不確定 |
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A. | (0,2) | B. | (0,1)∪(2,+∞) | C. | (-∞,0)∪(0,2) | D. | (-∞,0)∪(2,+∞) |
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