15．若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab$\sqrt{ab}$．

分析 （1）利用新定義即可求出x的取值范圍；
（2）利用新定義和不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 解：（1）由題設(shè)|x2-1|＞1，即
∴x2-1＜-1或x2-1＞1，即x2＜0或x2＞2；
解得x＜-$\sqrt{2}$，或x＞$\sqrt{2}$，
即x∈（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
證明：（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，有
a3+b3＞2ab$\sqrt{ab}$，a2b+ab2＞2ab$\sqrt{ab}$．
∵|a3+b3-2ab$\sqrt{ab}$|-|a2b+ab2-2ab$\sqrt{ab}$|=（a+b）（a-b）2＞0，
∴|a3+b3-2ab$\sqrt{ab}$|＞|a2b+ab2-2ab$\sqrt{ab}$|，即a3+b3比a2b+ab2遠離2ab$\sqrt{ab}$．

點評 本題主要考查推理（歸納推理）與證明等基礎(chǔ)知識，考查運算化簡能力、推理論證能力，考查特殊與一般的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，若對任意{x∈R，f（x）+f′（x）＜1}，則不等式exf（x）＜ex+1的解集為（0，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．正方體ABCD一A′B′C′D′中，BC′與截面BB′D′D所成的角的正切值為（　�。�
A．$\sqrt{3}$B．1C．$\frac{\sqrt{3}}{3}$D．2

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3．如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結(jié)DB并延長交⊙O于點E，已知AC=BD=3．
（Ⅰ）求AB•AD的值；
（Ⅱ）求線段AE的長．

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10．已知函數(shù)f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）若a＞-2，設(shè)函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值為t（a），求t（a）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$-2+2alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）若f（x）＞-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

7．一個圓柱的底面直徑和高都為2，則它的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積的比為1：1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．與極坐標（-2，$\frac{π}{6}}$）不表示同一點的極坐標是（　�。�
A．（2，$\frac{7}{6}π}$）B．（2，-$\frac{7}{6}π}$）C．（-2，-$\frac{11π}{6}}$）D．（-2，$\frac{13}{6}π}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．已知點P（1，1）是直線l被橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1所截得的線段的中點，則直線l的方程為x+2y-3=0．

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