Question

3．已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b=sin（A+C），cos（A-C）+cosB=$\sqrt{3}$c．
（1）求角A的大��；
（2）求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得2sinAsinC=$\sqrt{3}c$，從而可求a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinA，結合A為銳角，可求A的值．
（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得b+c=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可求范圍B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵b=sin（A+C），可得：b=sinB，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：a=sinA，c=sinC，
∵cos（A-C）+cosB=$\sqrt{3}$c，可得：cos（A-C）-cos（A+C）=$\sqrt{3}$c，
可得：cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=$\sqrt{3}c$，
∴2sinAsinC=$\sqrt{3}c$，
∴2ac=$\sqrt{3}c$，可得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinA，
∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴b+c=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B+C=$\frac{2π}{3}$，B，C為銳角，可得B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴b+c=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．