Question

13．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設(shè)$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=y$，對于函數(shù)y=f（x），給出以下三個結(jié)論：①當a=2時，函數(shù)f（x）的值域為[1，4]；②對于任意的a＞0，均有f（1）=1；③對于任意的a＞0，函數(shù)f（x）的最大值均為4．其中所有正確的結(jié)論序號為②③．

Answer 1

分析 通過建立如圖所示的坐標系，可得y=f（x）=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．通過分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，（0≤x≤1）．∴$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{AD}$=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），
$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}$=（0，a）-（x-2，xa）=（2-x，a-xa）．
得y=f（x）=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．
①當a=2時，y=f（x）=5x²-8x+4=5（x-$\frac{4}{5}$）+$\frac{4}{5}$．
∵0≤x≤1，∴當x=$\frac{4}{5}$時，f（x）取得最小值$\frac{4}{5}$；
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．
綜上可得：函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{4}{5}$，4]．
因此①不正確．
②由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可得：?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正確；
③由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可知：對稱軸x₀=$\frac{4+{a}^{2}}{2{a}^{2}+2}$，
當0＜a≤$\sqrt{2}$時，1＜x₀，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當x=0時，函數(shù)f（x）取得最大值4．
當a$＞\sqrt{2}$時，0＜x₀＜1，函數(shù)f（x）在[0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，1]上單調(diào)遞增．
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．因此③正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點評 本題考查了數(shù)量積運算、分類討論、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．