Question

【題目】如圖組合體中，三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面（過圓柱的軸，截圓柱所得的截面），是圓柱底面圓周上不與，重合的一個(gè)點(diǎn).

（1）求證：無論點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，平面平面；

（2）當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題（I）欲證平面A1BC⊥平面A1AC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面A1BC內(nèi)一直線與平面A1AC垂直，根據(jù)側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個(gè)點(diǎn)，則AC⊥BC，又圓柱母線AA1⊥平面ABC，BC屬于平面ABC，則AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AC，而BC屬于平面A1BC，滿足定理所需條件；

（II）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)度為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積，求出三棱錐A1﹣ABC的體積為，從而求出四棱錐A1﹣BCC1B1的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A1﹣BCC1B1與圓柱的體積比．

試題解析：

（1）由條件，為底面圓的直徑，是圓柱底面圓周上不與、重合的一個(gè)點(diǎn)，所以，又圓柱母線平面，則，點(diǎn)，

所以平面，從而平面 平面；

（2）設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則圓柱的體積為，

當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，為等腰直角三角形，面積為，

三棱錐的體積為，

三棱柱的體積為，

則四棱錐的體積為，

四棱錐與圓柱的體積比為．