Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（1）求證：PD⊥PB；
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求$\frac{AM}{AP}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PD⊥AB，PD⊥PA，從而PD⊥面PAB，由此能證明PD⊥PB．
（2）取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)CO，PO，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值．
（3）假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥面PCD，設(shè)$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y'，z'），利用向量法能求出存在M點(diǎn)，即當(dāng)$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$時，M點(diǎn)即為所求．

解答 證明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB
又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，
∴PD⊥PB．…（3分）
解：（2）取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)CO，PO，
∵$CD=AC=\sqrt{5}$∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD
以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），
則$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1，0）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面PDC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
設(shè)PB與面PCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（7分）
（3）假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥面PCD，設(shè)$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y'，z'），
由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），$\overrightarrow{AP}=（{0，-1，1}）$，
B（1，1，0），$\overrightarrow{AM}=（{0，y'-1，z'}）$，
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}⇒M（{0，1-λ，λ}）$，$\overrightarrow{BM}=（{-1，-λ，λ}）$
∵BM∥面PCD，$\overrightarrow n$為PCD的法向量，∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=0$
即$-\frac{1}{2}+λ+λ=0$∴$λ=\frac{1}{4}$
綜上所述，存在M點(diǎn)，即當(dāng)$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$時，M點(diǎn)即為所求．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．