Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)作兩條互相垂直的直線，且交橢圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意布列關(guān)于a，b的方程組，解之即可；

(2)討論直線的斜率，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，進(jìn)而得到四邊形的面積，借助對(duì)勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到結(jié)果.

（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為：

則，

設(shè)，由右焦點(diǎn)到直線的距離為，可得，

解得或（舍去）.

所以，.

故橢圓的方程為：.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的斜率為0，此時(shí)，

，則四邊形的面積.

②當(dāng)直線的斜率為0，此時(shí)的斜率不存在，同理可得四邊形的面積.

③當(dāng)直線的斜率存在，且斜率時(shí)，，則，將直線的方程代入橢圓方程中，并化簡(jiǎn)整理得，

可知，

設(shè)、，則有

則

同理可得

則的面積.

令，則

，

令，則有，則.

綜上，.