Question

16．已知函數(shù)f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$），下列說(shuō)法：
（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞）；
（3）f（x）是奇函數(shù)；
（4）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
其中說(shuō)法正確的是（1）（4）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，值域，奇偶性和單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：由x與$\frac{1}{x}$同號(hào)可得：x+$\frac{1}{x}$＞0時(shí)，x＞0，
故f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），故（1）正確；
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，
故f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）≤-1，
故f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1]，故（2）錯(cuò)誤；
函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為非奇非偶函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t=x+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）為增函數(shù)，故（4）正確；
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的定義域，值域，奇偶性和單調(diào)性，難度中檔．