Question

5．已知函數f（x）=e^x-e^-x（x∈R，且e為自然對數的底數）．
（1）判斷函數f（x）的單調性與奇偶性；
（2）是否存在實數t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數f（x）=e^x-e^-x，結合函數單調性“增+增=增”的性質及奇偶性的定義，可判斷f（x）在R上是增函數且是奇函數．
（2）不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈R都成立，即t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$對一切x∈R都成立，進而可得存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈R都成立．

解答 （12分）
解：（1）∵f（x）=e^x-e^-x，
函數y=e^x為增函數，函數y=-e^-x為增函數
∴f（x）在R上是增函數．
（亦可用定義證明）
∵f（x）的定義域為R，且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函數和奇函數，
則f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切都成立
?f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）對一切x∈R都成立
?x²-t²≥t-x對一切x∈R都成立
?t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$對一切x∈R都成立
$?{t^2}+t≤{（{{x^2}+x}）_{min}}=-\frac{1}{4}?{t^2}+t+\frac{1}{4}={（t+\frac{1}{2}）^2}≤0$，
又${（t+\frac{1}{2}）}^{2}≥0$，
∴${（t+\frac{1}{2}）}^{2}=0$，
∴$t=-\frac{1}{2}$，
∴存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈R都成立．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，函數的單調性，函數的奇偶性，難度中檔．