從數(shù)列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列.設數(shù)列{an}是一個首項為a1、公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列.
(1)若a1,a2,a5成等比數(shù)列,求其公比q.
(2)若a1=7d,從數(shù)列{an}中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問該數(shù)列是否為{an}的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.
(3)若a1=1,從數(shù)列{an}中取出第1項、第m(m≥2)項(設am=t)作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問當且僅當t為何值時,該數(shù)列為{an}的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.
【答案】
分析:(1)由題設知(a
1+d)
2=a
1(a
1+4d),由此可求出其公比
.
(2)設等比數(shù)列為{b
m},其公比
,
,由題設a
n=a
1+(n-1)d=(n+6)d.再由反證法能夠推出該數(shù)列不為{a
n}的無窮等比子數(shù)列.
(3)①設{a
n}的無窮等比子數(shù)列為{b
r},其公比
(t≠1),得b
r=t
r-1,由此入手能夠推導出t是大于1的正整數(shù).
②再證明:若t是大于1的正整數(shù),則數(shù)列{a
n}存在無窮等比子數(shù)列.即證明無窮等比數(shù)列{b
r}中的每一項均為數(shù)列{a
n}中的項.綜上,當且僅當t是大于1的正整數(shù)時,數(shù)列{a
n}存在無窮等比子數(shù)列.
解答:解:(1)由題設,得a
22=a
1a
5,即(a
1+d)
2=a
1(a
1+4d),得d
2=2a
1d,又d≠0,
于是d=2a
1,故其公比
.
(2)設等比數(shù)列為{b
m},其公比
,
,
由題設a
n=a
1+(n-1)d=(n+6)d.
假設數(shù)列{b
m}為{a
n}的無窮等比子數(shù)列,
則對任意自然數(shù)m(m≥3),都存在n∈N
*,使a
n=b
m,
即
,
得
,
當m=5時,
,與假設矛盾,
故該數(shù)列不為{a
n}的無窮等比子數(shù)列.
(3)①設{a
n}的無窮等比子數(shù)列為{b
r},其公比
(t≠1),得b
r=t
r-1,
由題設,在等差數(shù)列{a
n}中,
,
,
因為數(shù)列{b
r}為{a
n}的無窮等比子數(shù)列,
所以對任意自然數(shù)r(r≥3),都存在n∈N
*,使a
n=b
r,
即
,
得
,
由于上式對任意大于等于3的正整數(shù)r都成立,且n,m-1均為正整數(shù),
可知t
r-2+t
r-3+t+1必為正整數(shù),
又d≠0,
故t是大于1的正整數(shù).
②再證明:若t是大于1的正整數(shù),則數(shù)列{a
n}存在無窮等比子數(shù)列.
即證明無窮等比數(shù)列{b
r}中的每一項均為數(shù)列{a
n}中的項.
在等比數(shù)列{b
r}中,b
r=t
r-1,
在等差數(shù)列{a
n}中,
,
,
若b
r為數(shù)列{a
n}中的第k項,則由b
r=a
k,得
,
整理得
,
由t,m-1均為正整數(shù),得k也為正整數(shù),
故無窮等比數(shù)列{b
r}中的每一項均為數(shù)列{a
n}中的項,得證.
綜上,當且僅當t是大于1的正整數(shù)時,數(shù)列{a
n}存在無窮等比子數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列的綜合運用,難度較大,解題時要認真審題,仔細解答,避免出錯.