Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱
（1）求b值；
（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則求出f′（x）得到一個二次函數(shù)，利用x=-$\frac{2a}$=2求出b即可；
（2）求出f′（x），由（1）得函數(shù)的對稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因為函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
所以-$\frac{2b}{6}$=2，于是b=-6；
（2）由（1）知，f（x）=x³-6x²+cx，
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12，
（�。┊�(dāng)c≥12時，f′（x）≥0，此時f（x）無極值．
（ii）當(dāng)c＜12時，f′（x）=0有兩個互異實根x₁，x₂．
不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂．
當(dāng)x＜x₁時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，x₁）內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x₂，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
所以f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)c＜12時，函數(shù)f（x）在x=x₂處存在唯一極小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定義域為（2，+∞）．

點(diǎn)評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及確定函數(shù)極值存在位置的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個極其重要的應(yīng)用，它大大簡化了證明單調(diào)性的方法．