Question

19．設(shè)方程f（x）=x-ln（ax）=0（a≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（　�。�

• A． 當(dāng)a＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
• B． 當(dāng)0＜a＜e時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根
• C． 當(dāng)a=e，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根
• D． 當(dāng)a＞e時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

Answer 1

分析 討論a的符號(hào)，得出f（x）的定義域，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算f（x）的極值，從而判斷f（x）=0的解得個(gè)數(shù)情況．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
由函數(shù)有意義得ax＞0，
（1）若a＜0，則x＜0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=0一點(diǎn)有一解；
（2）若a＞0，則x＞0，令f′（x）=0的x=1．
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1-lna，
又x→0時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∴當(dāng)1-lna=0即a=e時(shí)，f（x）=0只有一解x=1；
當(dāng)1-lna＞0即0＜a＜e時(shí)，f（x）=0無(wú)解；
當(dāng)1-lna＜0即a＞e時(shí)，f（x）=0有兩解．
古選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．