Question

下列命題為真命題的是

 

．（用序號(hào)表示即可）
①cos1＞cos2＞cos3；
②若a_n=a_n+3且a_n=n+3（n=1、2、3），則a₂₀₁₃＜a₂₀₁₄＜a₂₀₁₅；
③若e₁、e₂、e₃分別為雙曲線x²-

y2

3

=1、

x2

4

-

y2

3

=1、

x2

4

-y²=1的離心率，則e₁＞e₂＞e₃；
④若x₁＞x₂＞x₃，則lgx₁＞lgx₂＞lgx₃．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①1＜

π

2

＜2＜3＜π，利用y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減的性質(zhì)可判斷①；
②利用數(shù)列{a_n}是以3為周期的函數(shù)，可求得a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，結(jié)合a_n=n+3（n=1、2、3），可判斷②；
③利用雙曲線的性質(zhì)可求得e₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，從而可判斷③；
④利用對(duì)數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，由于1＜

π

2

＜2＜3＜π，y=cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，
所以cos1＞cos2＞cos3，故①正確；
對(duì)于②，由a_n=a_n+3得數(shù)列{a_n}是以3為周期的函數(shù)，故a₂₀₁₃=a₃，a₂₀₁₄=a₁，a₂₀₁₅=a₂，
又a_n=n+3 （n=1、2、3），故②錯(cuò)；
對(duì)于③，因?yàn)閑₁=2，e₂=

7

2

，e₃=

5

2

，故e₁＞e₂＞e₃，故③正確；
對(duì)于④，對(duì)數(shù)函數(shù)定義域必須大于0，故④錯(cuò)．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列的周期性及雙曲線的離心率，考查轉(zhuǎn)化思想．