Question

15．如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．
（1）若k=1，求|MN|；
（2）求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：直線方程為：y=x-2，代入拋物線方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=4，則弦長公式可知|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得|MN|；
（2）設(shè)直線方程方程，y=k（x-2）（k≠0），代入拋物線方程，即可求得x₁x₂=4，則（y₁y₂）²=4x₁x₂，則求得y₁y₂，則由斜率公式可知：k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-1，即可證明OM⊥ON．

解答 解：（1）由題意可知：直線方程為：y=x-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+4=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4×4}$=2$\sqrt{10}$，
∴|MN|=2$\sqrt{10}$；
（2）證明：直線l過點P（2，0）且斜率為k，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．
由韋達定理可知：x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=4，
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，則（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，
又注意到y(tǒng)₁y₂＜0，
所以y₁y₂=-4．
設(shè)OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4}{4}$=-1，
∴OM⊥ON．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式及直線直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．