Question

17．集成電路E由3個不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，3個電子元件能正常工作的概率分別降為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每個電子元件能否正常工作相互獨立．若3個電子元件中至少有2個正常工作，則E能正常工作，否則就需要維修，且維修集成電路E所需要費用為100元．
（1）求集成電路E需要維修的概率；
（2）若某電子設(shè)備共由2個集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需費用．求X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“三個電子元件能正常工作”分別記為事件A，B，C，則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．依題意，集成電路E需要維修有兩種情形：①3個元件都不能正常工作，②3個元件2個不能正常工作，由此能求出集成電路E需要維修的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，100，200，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 （本小題12分）
解：（1）設(shè)“三個電子元件能正常工作”分別記為事件A，B，C，
則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
依題意，集成電路E需要維修有兩種情形：
①3個元件都不能正常工作，概率為：
p₁=P（$\bar A\bar B\bar C$）=P（$\bar A$）+P（$\bar B$）+P（$\bar C$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$．
②3個元件2個不能正常工作，概率為
p₂=P（$A\bar B\bar C$）+P（$\bar AB\bar C$）+P（$\bar A\bar BC$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
所以，集成電路E需要維修的概率為p₁+p₂=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，100，200，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{12}$）²=$\frac{49}{144}$，
P（X=100）=$C_2^1$•$\frac{5}{12}$•（1-$\frac{5}{12}$）=$\frac{70}{144}$，
P（X=200）=（$\frac{5}{12}$）²=$\frac{25}{144}$．
X的分布列為：

X	0	100	200
P	$\frac{49}{144}$	$\frac{70}{144}$	$\frac{25}{144}$

所以E（X）=0×$\frac{49}{144}$+100×$\frac{70}{144}$+200×$\frac{25}{144}$=$\frac{250}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、整體思想，是中檔題．