Question

7．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且$\sqrt{3}c=2asinC$．
（1）求角A的大��；
（2）若∠A為銳角，a=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，進而可求sinA，可得A的值．
（2）由（1）及已知可求∠A，利用余弦定理可求bc=b²+c²-12，利用三角形面積公式可求bc=8，進而聯(lián)立解得b，c的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵$\sqrt{3}c=2asinC$，且sinC≠0，
∴可得$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，…2分
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…3分
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$…4分
（2）∵∠A為銳角，可得A=$\frac{π}{3}$，…5分
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，可得：bc=b²+c²-12，…6分
∵S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴bc=8，
∴b²+c²=20，…8分
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=2}\end{array}\right.$…10分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．